Teorema de los Cosenos

En esta lección, usaremos el teorema de cosenos para encontrar las medidas desconocidas cuando la información que tenemos no nos permite usar el teorema de senos.

Usando el teorema de Pitágoras, los lados con longitudes a, x y y están relacionados por a²=x²+y².

¿Cuál es la longitud del lado c?

Queremos encontrar la longitud de un lado del triángulo grande en términos de los otros dos lados, sin la necesidad de conocer x y y. Hasta ahora tenemos las dos ecuaciones:

• c²=b²-2bx+x²+y²
• a²=x²+y²

Podemos eliminar la  al resolver la segunda ecuación para y² y sustituir en la primera ecuación. ¿Cuál expresión obtenemos al hacer eso?

En la anterior pregunta, obtuvimos c²=b²-2bx+a², pero queremos eliminar la x.

Usando la definición de coseno [latex]\left(\frac{adyacente}{hipotenusa}\right)[/latex], podemos encontrar una expresión en términos del ángulo α y sustituir por x.

¿Cuál expresión es equivalente a c²?

La ecuación que acabamos de derivar es el teorema de los cosenos:

El lado c es el opuesto al ángulo α.

Con el teorema de los cosenos podemos encontrar los lados y ángulos de triángulos que no son triángulos rectángulos.

¿Cuál es la medida aproximada del ángulo α?

Creado con GeoGebra

c²=a²+b²-2ab cos(α)

¿Cuál es la longitud del lado c si es que α=25°?

¿A qué es igual β en el siguiente triángulo?

Cuando tenemos la longitud de dos lados del triángulo y un ángulo que no está entre esos dos lados, a veces el teorema de los cosenos no nos da un valor único para la longitud del tercer lado. La respuesta dependería en si el triángulo es agudo u obtuso.

Con el teorema de los cosenos tenemos 5²=8²+b²-16b cos⁡(30°). Esto resulta en una ecuación cuadrática b²-8√3 b+39.

Resolviendo nos da dos números positivos diferentes ≈3.93 y ≈9.93.

Por lo tanto, el lado b podría ser ≈3.93 o ≈9.93 dependiendo en si el ángulo opuesto es agudo u obtuso.