Teorema de los Senos

En esta lección, exploraremos cómo encontrar ángulos de triángulos que no son triángulos rectángulos usando el teorema de los senos.

El siguiente triángulo no es un triángulo rectángulo. A,B y C son los ángulos en cada vértice y a,b y c son los lados opuestos a cada ángulo.

¿Cuál de las siguientes proporciones es igual a sin(A)?

Podemos trazar una línea desde el vértice B que sea perpendicular al lado b para crear una altura h. Con esta línea crearemos dos triángulos rectángulos dentro del triángulo grande.

Basado en estos triángulos rectángulos, ¿cuál de las siguientes expresiones es verdadera?

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En la anterior pregunta vimos que, [latex]\sin⁡(A)=\frac{h}{c}[/latex] y [latex]\sin⁡(C)=\frac{h}{a}[/latex]. Ahora, buscaremos una relación que no requiera que tracemos la altura h para resolver los triángulos no rectángulos.

¿Cuál expresión obtenemos al sustituir y eliminar la h?

En el anterior problema vimos que, c sin(A)=a sin⁡(C), lo cual puede ser escrito así:

Podemos girar el triángulo y repetir el proceso de crear dos triángulos rectángulos para también poder incluir el lado b y el ángulo B.

Ahora tenemos [latex]\sin⁡(B)=\frac{h}{c}[/latex] y [latex]\sin⁡(C)=\frac{h}{b}[/latex]. De igual forma, resolviendo para h y simplificando, tenemos:

b sin⁡(C)=c sin⁡(B)

Lo cual puede ser reescrito como:

Por lo tanto, podemos escribir las tres proporciones de los lados y los senos para formar el teorema de los senos:

En el siguiente triángulo tenemos, A=60°, B=45° y a=12√6. ¿Cuál es el valor de b?

Dos niños están jugando con láseres. Un niño está ubicado exactamente a 20 metros de distancia hacia el norte del otro.

Ambos están apuntando a una señal de tránsito. El niño que está en el sur tiene que girar 30° hacia el norte para apuntar a la señal de tránsito y el niño que está en el norte tiene que girar 55° hacia el sur para apuntar a la señal de tránsito.

Aproximadamente, ¿qué tan lejos está la señal de tránsito del niño que está en el sur?

Creado con GeoGebra

¿Cuántos triángulos existen de tal forma que A=30°, a=5, b=5√3?

En el anterior problema, obtuvimos dos triángulos diferentes al usar el teorema de los senos con la información dada. Esto sucederá frecuentemente cuando tenemos dos lados y un ángulo debido a que la función seno se repite.

Creado con GeoGebra

Para obtener una solución única, necesitaremos más información. En el caso de la anterior pregunta, es suficiente con saber si es que el ángulo B es agudo u obtuso.

En la próxima lección, aprenderemos el teorema de los cosenos, el cual puede ser útil en estas situaciones.