Teorema de Morley

En esta lección, exploraremos un tipo de manipulación con trisecciones del ángulo. Las trisecciones dividen al ángulo en tres partes iguales. Vamos a realizar todas las trisecciones en el siguiente triángulo:

Si es que detenemos los trisectores en su primer punto de intersección, los trisectores intersecan en tres puntos. Los tres puntos tienen una relación especial, ¿qué tipo de relación es?

Vamos a formar un teorema. Empezando de cualquier triángulo, trazaremos los trisectores de los ángulos y los primeros puntos en donde se intersequen formarán un triángulo equilátero.

Creado con GeoGebra, por Tim Brzezinski

Vamos a utilizar un proceso reverso. Empezaremos con un triángulo equilátero y formaremos un triángulo final más grande alrededor. Vamos a hacer esto en forma general de modo que nos permita formar cualquier triángulo final, lo que significa que los trisectores de cualquier triángulo formarán un triángulo equilátero.

Mirando al siguiente diagrama, ¿cuál es el valor de a+b+c?

Empezamos trazando un triángulo equilátero XYZ y replicamos a este triángulo tres veces como se muestra en el diagrama.

Luego, escogemos cualesquier ángulos a, b, c que sumen 60°. Esta es una condición para el triángulo final. Trazamos segmentos en donde las medidas de los ángulos encajen con los ángulos escogidos.

¿Cuál es la medida del ángulo x?

Usando el mismo método que usamos en la anterior pregunta, podemos encontrar el ángulo b en la parte inferior izquierda del diagrama:

En las próximas preguntas, vamos a extender un lado del triángulo equilátero y usaremos triángulos semejantes para encontrar nuevos ángulos.

En el siguiente diagrama, extendimos el triángulo equilátero a los puntos P y Q y conectamos los puntos A y B.

¿Cuál de las siguientes es verdadera sobre los ángulos rosas?

Los triángulos QXZ y RYZ son congruentes.

Dado que XZ y YZ son parte del triángulo equilátero, esto significa que son congruentes.

Uno de los ángulos adyacentes es 60°+c. El otro ángulo adyacente es 60°.

Entonces, tenemos un lado y dos ángulos adyacentes congruentes, lo que nos da una congruencia ángulo-lado-ángulo de los dos triángulos.

Tenemos que los triángulos QXZ y RYZ son congruentes y también que los ángulos rosas son congruentes.

¿Cuáles de las siguientes son verdaderas?

Selecciona una o más

Al usar triángulos semejantes, pudimos completar las medidas de ángulos con b y a en el diagrama:

Este proceso puede ser repetido al extender los otros dos lados del triángulo equilátero uno a la vez. Al final, esto forma un triángulo en donde los trisectores intersecan para formar un triángulo equilátero.

Dado que nuestra elección de los ángulos fue arbitraria, un triángulo de cualquier forma tendrá el mismo efecto. Además, dado que el diagrama puede ser escalado, un triángulo de cualquier tamaño también tendrá el mismo efecto. Esto significa que triseccionar los ángulos de cualquier triángulo, siempre formará un triángulo equilátero adentro del triángulo original.