Teorema del Binomio

El teorema del binomio o también conocido como el binomio de Newton, nos permite calcular cualquier potencia de un binomio. Nos permite saber lo que pasa cuando expandimos una expresión como [latex]{{(x+y)}^{20}}[/latex]. El teorema del binomio se relaciona con una de las herramientas fundamentales en matemáticas, el triángulo de Pascal.

Empezaremos explorando el triángulo de Pascal para luego ver su aplicación en la multiplicación algebraica.

En el triángulo de Pascal, cada número es la suma de los dos números que están encima de él.

Necesitas moverte desde el triángulo superior hacia abajo moviéndote o bien hacia abajo a la izquierda o hacia abajo a la derecha.

¿Cuántos caminos diferentes existen para moverte desde el triángulo superior hasta la fila inferior?

Moviéndose hacia abajo en cada paso, ¿cuántos caminos hay para llegar desde el triángulo rojo superior hasta el cuadrado verde inferior?

Ya sabemos que cada número en el triángulo de Pascal es el número de posibles caminos desde la parte superior hasta la posición de ese número. Hay 20 posibles caminos desde el triángulo hasta el cuadrado.

Pero ¿por qué sucede esto? En este ejemplo, necesitamos movernos 3 veces hacia la izquierda y 3 veces hacia la derecha para llegar desde el triángulo hasta el cuadrado. Entonces, estamos tratando de averiguar en cuántas maneras diferentes podemos movernos 3 veces a la derecha y 3 veces a la izquierda. Matemáticamente, podemos hacerlo usando combinaciones¹:

Nota 1: Una combinación es una manera de escoger elementos de un grupo en el cual el orden no importa.

Ten en cuenta que todos los números en el triángulo de Pascal pueden ser escritos como una combinación.

El teorema del binomio o binomio de Newton tiene una fuerte relación con el triángulo de Pascal. Nos permite calcular cualquier potencia de un binomio:

¿Cuál es el valor de P?

Ya sabemos que los números en el triángulo de Pascal pueden ser encontrados usando combinaciones. También vimos que los coeficientes de la expansión del binomio siguen los patrones del triángulo de Pascal:

Tomando la expansión de (x+y)³=x³+3x²y+3xy²+y³, veamos por qué los coeficientes también son combinaciones.

Formamos el coeficiente de x³ al seleccionar tres x y cero y: [latex]_{3}C_{0}={3\choose 0}=1[/latex].

Formamos el coeficiente de x² al seleccionar dos x y una y: [latex]_{3}C_{1}={3\choose 1}=3[/latex].

El coeficiente de cada término puede considerarse como el número de posibles maneras de seleccionar el número correcto de y.

¿Cuál es la expansión correcta de (x-y)³?

¿Cuál es la expansión correcta de [latex]{{(x+y)}^4}[/latex]?

¿Cuál es el octavo término de [latex]{{(x+y)}^{30}}[/latex]?

En esta lección, conocimos el triángulo de Pascal y aprendimos sobre la relación que existe entre el triángulo de Pascal y la expansión de binomios.

Vimos que los coeficientes de la expansión del binomio siguen los patrones del triángulo de Pascal:

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