Traslada y Estira Funciones

¿Qué efecto tiene la k en la función f(x)+k?

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Si tenemos la función f(x+m), ¿qué efecto tiene m en la gráfica?

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En general, podemos pensar en la traslación¹ de gráficas en el plano con esta expresión:

Nota 1: Una translación de una gráfica es un movimiento o deslizamiento a una nueva ubicación en el plano cartesiano.

Observa que en esta expresión cambiamos la m por la h. Dado que ahora tenemos sustracción en la expresión, incrementar el valor de h, hará que la gráfica se mueva hacia la derecha y disminuir el valor de h, hará que la gráfica se mueva hacia la izquierda.

k afecta a la salida de la función, así que en una gráfica afecta específicamente las coordenadas y de la gráfica, moviéndolas hacia arriba o hacia abajo.

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h afecta a la entrada de la función antes de que la función en sí sea usada. Esto afecta las coordenadas x de la función, moviéndola hacia la izquierda y hacia la derecha.

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Arriba podemos ver la gráfica de f(x)=x². ¿Cuál de las siguientes es la gráfica de f(x)=(x-2)²+3?

En la expresión:

b afecta a la entrada de la función y por lo tanto las coordenadas x, mientras que a afecta a la salida de la función y por lo tanto las coordenadas y.

¿Qué efecto tienen a y b en las coordenadas x y y de la gráfica de f(x)?

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¿Qué función corresponde a la gráfica que tenemos abajo?

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La gráfica que se muestra arriba es f(x), ¿cuál de las siguientes gráficas corresponde a [latex]4f(\frac{1}{2} x)[/latex]?

Observa que el vértice² de la función f(x)=x² está en (0, 0) y cualquier desplazamiento de la gráfica también afecta a este punto.

Nota 2: El vértice de una parábola es el punto en donde la parábola interseca a su línea de simetría. También es o bien el punto más alto o más bajo en la parábola.

¿Cuál es el vértice de la siguiente parábola?

Usemos lo que hemos visto hasta ahora, combinemos a, b, h, k, en una sola expresión:

Comparando esta expresión con el anterior problema:

Queremos que en la parte interna de la función la sustracción pasa antes que la multiplicación. Para escribir [latex]{{(\frac{1}{2} x-3)}^2}[/latex] de esta forma, tenemos que factorizar el 1/2:

Esto significa que h será 6 y que b será 1/2. Al escribir el problema en esta manera, el estiramiento horizontal aplica antes de la traslación horizontal así que el vértice original no es afectado para nada por el valor de b.

Al escribir la función de esta manera af(b(x-h))+k, significa que el vértice de una función cuadrática es (h, k).

En la gráfica de arriba se muestra f(x), ¿cuál de las siguientes gráficas es f(2x+3)+4?

Este es un resumen de lo que vimos en esta lección:

Cuando tenemos una función f(x) y si es que está escrita en la forma:

Entonces:

• Todas las coordenadas de x son primero divididas por b y luego sumadas h.

• Todas las coordenadas de y son primero multiplicadas por a y luego sumadas k.

Usando esto, podemos graficar cualquier versión de la función original con diferentes transformaciones.

En esta lección sólo vimos casos en los cuales a y b son positivos. En la próxima sección veremos casos en los cuales a y b son negativos.

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