Truco de Gauss

Vamos a usar los trucos aritméticos que hemos visto para obtener una nueva fórmula que funciona en sumas de números consecutivos1 como la que se muestra abajo.

Nota 1: Los números consecutivos son números enteros que están juntos el uno del otro en la recta numérica. La diferencia entre números consecutivos enteros siempre es 1.

Evalúa lo siguiente:

1+2+3+4+5+6+7+8+9

Evalúa la suma de cada número desde el 1 hasta el 40:

1+2+3+4+⋯+37+38+39+40

Tal vez pensarás en usar la calculadora ahora, pero no trates de sumar todos los 40 números. Considera sólo 1+2+3+4+37+38+39+40 , luego deduce lo que pasará con el resto de los números.

El proceso que usamos para resolver el problema anterior es muy importante por lo que lo consideraremos de nuevo. Asegúrate de entender el proceso antes de seguir con el resto de los problemas aquí.

Evalúa la suma de cada número desde el 1 hasta el 40:

1+2+3+4+⋯+37+38+39+40

1+2+3+⋯+38+39+40

Empieza sumando el primero y el último número:

1+40=41

Toma los siguientes números de la izquierda y de la derecha:

2+39=41

Continúa:

3+38=41

Esto se repite 20 veces hasta llegar a:

20+21=41

Dado que 41 se repite 20 veces, la suma que buscamos es igual a: 20×41.

Podemos realizar esta multiplicación mentalmente:

20×41=(20×40)+20=800+20=820

Evalúa lo siguiente:

1+2+3+⋯+79+80+81

Observa bien, hay 81 números. Tienes que determinar si es que cada número tiene una pareja.

Nuestro procedimiento general para la suma 1+2+3+⋯+n, cuando n es par, ha sido añadir 1 al último término y multiplicar por el número de parejas posibles.

¿Cuál fórmula expresa este procedimiento cuando tenemos n como el último término?

En el caso que tengamos n como un número impar, ¿funcionaría la misma fórmula del anterior problema?

[latex]\left(\frac{n}{2}\right)(n+1)[/latex]

En la siguiente ilustración interactiva, puedes obtener una prueba dinámica de la fórmula para la suma de los primeros n números naturales.
Empieza seleccionando el número n con el que quieres experimentar. Luego haz clic en reflejar y luego en trasladar.

Creado con GeoGebra, por sonom

Evalúa lo siguiente:

31+32+33+34+⋯+87+88+89+90

Ten en cuenta que esta suma no empieza en 1.

Si es que estamos evaluando a+(a+1)+(a+2)+(a+3)+⋯+b para un número par de términos, ¿cuál es el número de parejas que podemos formar?

¿Qué fórmula evaluaría la siguiente suma?

a+(a+1)+(a+2)+(a+3)+⋯+b

El procedimiento general que hemos usado es tomar la suma del primer y último términos y luego multiplicar esa suma por el número de parejas. Obtuvimos la fórmula para el número de parejas en el anterior problema.